جواب کاردرکلاس صفحه23 ریاضی یازدهم

## الف) $2\sqrt{2t - 1} - t = 1$ * **شرط**: $2t - 1 \ge 0 \Rightarrow t \ge \frac{1}{2}$. * **تنها کردن رادیکال**: $2\sqrt{2t - 1} = t + 1$. * **شرط دوم**: $t + 1 \ge 0 \Rightarrow t \ge -1$. (شرط کلی: $t \ge \frac{1}{2}$). * **به توان دو رساندن**: $4(2t - 1) = (t + 1)^2 \Rightarrow 8t - 4 = t^2 + 2t + 1$. * **معادله درجه دوم**: $t^2 - 6t + 5 = 0$. * **ریشه‌ها**: $(t - 1)(t - 5) = 0 \Rightarrow t_1 = 1, t_2 = 5$. * **بررسی جواب‌ها** (شرط $t \ge \frac{1}{2}$): * $t_1 = 1$: $2\sqrt{2(1) - 1} - 1 = 2(1) - 1 = 1$. **قابل قبول**. * $t_2 = 5$: $2\sqrt{2(5) - 1} - 5 = 2\sqrt{9} - 5 = 6 - 5 = 1$. **قابل قبول**. **جواب‌ها**: $t = 1$ و $t = 5$. --- ## ب) $2x = 1 - \sqrt{2 - x}$ * **شرط**: $2 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 2$. * **تنها کردن رادیکال**: $\sqrt{2 - x} = 1 - 2x$. * **شرط دوم**: $1 - 2x \ge 0 \Rightarrow 2x \le 1 \Rightarrow x \le \frac{1}{2}$. (شرط کلی: $x \le \frac{1}{2}$). * **به توان دو رساندن**: $2 - x = (1 - 2x)^2 \Rightarrow 2 - x = 1 - 4x + 4x^2$. * **معادله درجه دوم**: $4x^2 - 3x - 1 = 0$. * **ریشه‌ها**: $(4x + 1)(x - 1) = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -\frac{1}{4}$. * **بررسی جواب‌ها** (شرط $x \le \frac{1}{2}$): * $x_1 = 1$: در شرط $x \le \frac{1}{2}$ صدق نمی‌کند. $2(1) = 2$ و $1 - \sqrt{2 - 1} = 1 - 1 = 0$. $2 \neq 0$. **غیرقابل قبول**. * $x_2 = -\frac{1}{4}$: در شرط $x \le \frac{1}{2}$ صدق می‌کند. **قابل قبول**. **جواب**: $x = -\frac{1}{4}$. --- ## پ) $\sqrt{x} + \sqrt{x + 5} = \sqrt{x + 1}$ * **شرط**: $x \ge 0$, $x + 5 \ge 0$, $x + 1 \ge 0$. (شرط کلی: $x \ge 0$). * **بررسی دامنه**: به ازای $x \ge 0$، داریم: $$\sqrt{x + 5} > \sqrt{x + 1}$$ (زیرا $x + 5 > x + 1$) $$\sqrt{x} > 0 \quad (\text{به ازای } x > 0)$$ پس سمت چپ $\sqrt{x} + \sqrt{x + 5}$ همیشه **بزرگتر** از $\sqrt{x + 1}$ است. $$\sqrt{x} + \sqrt{x + 5} > \sqrt{x + 1}$$ تنها نقطهٔ اشتراک زمانی است که $x=0$. اما در $x=0$: $\sqrt{0} + \sqrt{5} = \sqrt{1} \Rightarrow \sqrt{5} = 1$ که نادرست است. به عبارت دیگر، هیچ عدد نامنفی وجود ندارد که مجموع دو عدد مثبت، برابر با سومی باشد که از هر دوی آن‌ها کوچکتر است. **جواب**: معادله جواب حقیقی ندارد. --- ## ت) $\frac{1}{\sqrt{u} - 3} - \frac{2}{\sqrt{u}} = 0$ * **شرط**: $u > 0$ و $\sqrt{u} - 3 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{u} \neq 3 \Rightarrow u \neq 9$. * **حل معادله**: $\frac{1}{\sqrt{u} - 3} = \frac{2}{\sqrt{u}}$ $$\sqrt{u} = 2(\sqrt{u} - 3)$$ $$\sqrt{u} = 2\sqrt{u} - 6$$ $$\sqrt{u} = 6$$ $$u = 36$$ * **بررسی جواب**: $u = 36$ در شرط $u > 0$ و $u \neq 9$ صدق می‌کند. **قابل قبول**. **جواب**: $u = 36$. --- ## ث) $2 + \sqrt{2x^2 - 5x + 2} = x$ * **تنها کردن رادیکال**: $\sqrt{2x^2 - 5x + 2} = x - 2$. * **شرط**: $2x^2 - 5x + 2 \ge 0$. * **شرط دوم**: $x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$. * **به توان دو رساندن**: $2x^2 - 5x + 2 = (x - 2)^2$ $$2x^2 - 5x + 2 = x^2 - 4x + 4$$ * **معادله درجه دوم**: $x^2 - x - 2 = 0$. * **ریشه‌ها**: $(x - 2)(x + 1) = 0 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -1$. * **بررسی جواب‌ها** (شرط $x \ge 2$): * $x_1 = 2$: در شرط $x \ge 2$ صدق می‌کند. $2 + \sqrt{2(4) - 5(2) + 2} = 2 + \sqrt{0} = 2$. **قابل قبول**. * $x_2 = -1$: در شرط $x \ge 2$ صدق نمی‌کند. **غیرقابل قبول**. **جواب**: $x = 2$.

معادلات زمانی فاقد ریشهٔ حقیقی هستند که دامنهٔ تعریف آن‌ها تهی باشد یا سمت چپ (با توجه به نامنفی بودن رادیکال‌ها) نتواند برابر با سمت راست شود. ## الف) $\sqrt{t} + \sqrt{t + 2} = 0$ **۱. شرط دامنه**: $t \ge 0$ و $t + 2 \ge 0 \Rightarrow t \ge -2$. (شرط کلی: $t \ge 0$). **۲. بررسی نامنفی بودن**: مجموع دو عبارت نامنفی ($\sqrt{t} \ge 0$ و $\sqrt{t + 2} \ge 0$) زمانی صفر می‌شود که **هر دو عبارت همزمان صفر شوند**. * $\sqrt{t} = 0 \Rightarrow t = 0$ * $\sqrt{t + 2} = 0 \Rightarrow t + 2 = 0 \Rightarrow t = -2$ چون هیچ مقداری از $t$ نمی‌تواند **همزمان** $\sqrt{t}$ را صفر و $\sqrt{t + 2}$ را نیز صفر کند، معادله جواب ندارد. ## ب) $\sqrt{x - 2} + \sqrt{2x + 3} + 1 = 0$ **۱. شرط دامنه**: $x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$. و $2x + 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1.5$. (شرط کلی: $x \ge 2$). **۲. بررسی نامنفی بودن**: $$(\sqrt{x - 2}) + (\sqrt{2x + 3}) = -1$$ سمت چپ معادله ($LHS$) مجموع سه عبارت است که دو تای آن‌ها نامنفی هستند ($\sqrt{x - 2} \ge 0$ و $\sqrt{2x + 3} \ge 0$) و عبارت سوم ($1$) مثبت است. پس: $$LHS = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2x + 3} + 1 \ge 0 + 0 + 1 = 1$$ چون سمت چپ معادله همواره بزرگتر یا مساوی ۱ است، **هرگز نمی‌تواند برابر با صفر شود**. ## پ) $\sqrt{1 - x} + \sqrt{x - 2} = 0$ **۱. شرط دامنه**: * $\sqrt{1 - x}$: باید $1 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 1$. * $\sqrt{x - 2}$: باید $x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$. **۲. بررسی دامنه مشترک**: دامنهٔ تعریف، اشتراک شرایط $x \le 1$ و $x \ge 2$ است. $$\text{دامنه} = (-\infty, 1] \cap [2, \infty) = \emptyset$$ چون دامنهٔ تعریف معادله **تهی** است، هیچ ریشهٔ حقیقی برای آن وجود ندارد.